MIT 线性代数笔记

AX=b 的最小误差解必是ATAX=ATbA^TAX=A^Tb的解

投影矩阵P=A(AAT)−1ATP=A(AA^T)^{-1}A^T

特征值解决斐波那契数列问题

Un={Fn+2=Fn+1+FnFn+1=Fn+1+0=(1110)(Fn+1Fn)=(1110)Un−1U_{n} = \begin{cases} F_{n+2} = F_{n+1} + F_n \\ F_{n+1} = F_{n+1} + 0 \end{cases} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}U_{n-1}

求出矩阵特征值

{λ1=1+52,x1=(λ1,1)Tλ2=1−52,x2=(λ2,1)T\begin{cases} \lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x_1=(\lambda_1,1)^T \\ \lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, x_2=(\lambda_2,1)^T \\ \end{cases}

令 A=(1110)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

An=SΛnS−1A^n=S\Lambda^nS^{-1}

S 为 A 的特征向量矩阵

S=(x1,x2)=(λ1λ211)S=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} Un=AnU0=SΛnS−1U0U_n=A^nU_0=S\Lambda^n S^{-1}U_0

令U0=c1x1+c2x2=S(c1,c2)TU_0=c_1x_1+c_2x_2=S(c_1,c_2)^T

U0=(c1λ1+c2λ2c1+c2)=(F1+F0F0)U_0 = \begin{pmatrix} c_1\lambda_1 + c_2\lambda_2 \\ c_1 + c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_1 + F_0 \\ F_0 \end{pmatrix} Un=SΛn(c1c2)=c1λ1nx1+c2λ2nx2U_n = S\Lambda^n \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = c_1\lambda_1^nx_1 + c_2\lambda_2^nx_2