特征值二次型考研题

Q:

λ=2\lambda=2是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则(13A2)−1(\frac{1}{3}A^2)^{-1}的特征值是

A: 34\frac{3}{4}

Q: A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量α\alpha是 A 属于λ\lambda的特征向量，则(P−1AP)T(P^{-1}AP)^T属于λ\lambda的特征向量是

A: PTαP^T\alpha

Q:

B=(001010100),A∼BB=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, A \sim B

求 r(A-2E)+r(A-E)

A:4

Q: 判断 A 可对角化的三个条件

A:

Q:

ξ=(1,1,−1)T,A=(2−125a3−1b−2)\xi=(1,1,-1)^T, A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2 \\ \end{pmatrix}

求 a、b 和ξ\xi所对应的特征值，并求 A 的对角矩阵

A:

a=−3,b=0,λ=−1a=-3,b=0,\lambda=-1

A 不能对角化

Q:

A=(32−2−k1k42−3)A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ -k & 1 & k \\ 4 & 2 & -3 \\ \end{pmatrix}

k 为何值时 A 可对角化，并求出 A 的对角矩阵Λ\Lambda和使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda的可逆矩阵 P

A:

k=0,P=(1−10021101),Λ=(1−1−1)k=0,P=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix} 1 \\ & -1 \\ && -1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(11a1a1a11),β=(11−2),Ax=βA=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, \beta=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ \end{pmatrix}, Ax=\beta

线性方程组有解且不唯一，求 a 以及正交矩阵 Q 使得QTAQQ^TAQ

A:

a=−2,Q=(121316013−26−121316)a=-2,Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(101020101),B=(kE+A)2,B∼ΛA=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, B=(kE+A)^2, B \sim \Lambda

求 k 为何值 B 为正定矩阵

A: k≠−2,k≠0k \ne -2, k \ne 0