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2021-05-17
无穷阶求导
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高等数学
#math
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无穷阶求导
泰勒展开式
无穷阶求导公式
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高等数学
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高等数学
无穷阶求导
J.Gong
2021-05-17
0.79min
无穷阶求导
泰勒展开式
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
⋯
e^x = \sum^\infty_{n=0}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots
e
x
=
n
=
0
∑
∞
n
!
x
n
=
1
+
x
+
2
!
x
2
+
⋯
1
x
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
n
=
1
−
x
+
x
2
+
⋯
\frac{1}{x+1} = \sum^\infty_{n=0}(-1)^nx^n = 1-x+x^2+ \cdots
x
+
1
1
=
n
=
0
∑
∞
(
−
1
)
n
x
n
=
1
−
x
+
x
2
+
⋯
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
\frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0}x^n = 1 + x + x^2 + \cdots
1
−
x
1
=
n
=
0
∑
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
⋯
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
x
n
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
\ln(1+x) = \sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
ln
(
1
+
x
)
=
n
=
1
∑
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
=
x
−
2
x
2
+
3
x
3
−
⋯
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
\sin x = \sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
sin
x
=
n
=
0
∑
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)!
x
2
n
+
1
=
x
−
3
!
x
3
+
5
!
x
5
+
⋯
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
\cos x = \sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
cos
x
=
n
=
0
∑
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)!
x
2
n
=
1
−
2
!
x
2
+
4
!
x
4
−
⋯
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
α
(
α
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots
(
1
+
x
)
α
=
1
+
α
x
+
2
!
α
(
α
−
1
)
x
2
+
⋯
无穷阶求导公式
(
α
x
)
(
n
)
=
α
x
(
ln
α
)
n
(\alpha^x)^{(n)} = \alpha^x(\ln \alpha)^n
(
α
x
)
(
n
)
=
α
x
(
ln
α
)
n
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
(e^x)^{(n)} = e^x
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
(
sin
k
x
)
(
n
)
=
k
n
sin
(
k
x
+
n
π
2
)
(\sin kx)^{(n)} = k^n\sin(kx + \frac{n\pi}{2})
(
sin
k
x
)
(
n
)
=
k
n
sin
(
k
x
+
2
nπ
)
(
cos
k
x
)
(
n
)
=
k
n
cos
(
k
x
+
n
π
2
)
(\cos kx)^{(n)} = k^n\cos(kx + \frac{n\pi}{2})
(
cos
k
x
)
(
n
)
=
k
n
cos
(
k
x
+
2
nπ
)
(
ln
x
)
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
x
n
(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}
(
ln
x
)
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
x
n
(
n
−
1
)!
[
ln
(
1
+
x
)
]
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
(
1
+
x
)
n
[\ln(1+x)]^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}
[
ln
(
1
+
x
)
]
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
(
1
+
x
)
n
(
n
−
1
)!
[
(
x
+
x
0
)
m
]
(
n
)
=
m
(
m
−
1
)
(
m
−
2
)
⋯
(
m
−
n
+
1
)
(
x
+
x
0
)
m
−
n
[(x+x_0)^m]^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(x+x_0)^{m-n}
[(
x
+
x
0
)
m
]
(
n
)
=
m
(
m
−
1
)
(
m
−
2
)
⋯
(
m
−
n
+
1
)
(
x
+
x
0
)
m
−
n
(
1
x
+
a
)
(
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
(
x
+
a
)
n
+
1
(\frac{1}{x+a})^{(n)} = \frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}
(
x
+
a
1
)
(
n
)
=
(
x
+
a
)
n
+
1
(
−
1
)
n
n
!
