常见的随机变量分布类型

二次分布P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−kP\{X=k\}=C^k_np^k(1-p)^{n-k}记为X∼B(n,p)X \sim B(n,p)

泊松分布P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,⋯ ;λ>0)P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k=0,1,\cdots;\lambda>0)记为X∼P(λ)X \sim P(\lambda)

几何分布P{X=k}=(1−p)k−1p(k=1,2,⋯ ;0<p<1)P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p(k=1,2,\cdots;0<p<1)记为X∼G(p)X \sim G(p)

超几何分布P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNn(max{0,n−N+M}≤k≤min{M,n})P\{X=k\}=\frac{C^k_MC^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}(max\{0,n-N+M\} \le k \le min\{M,n\})记为X∼H(n,N,M)X \sim H(n,N,M)

均匀分布U(a,b)U(a,b)

f(x)={1b−a,a<x<b0f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, a<x<b \\ 0 \end{cases} F(x)={0,x<ax−ab−a,a≤x<b1,x≥bF(x)=\begin{cases} 0, x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, a \le x < b\\ 1, x \ge b \end{cases}

指数分布

f(x)={λe−λx,x>00f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0 \end{cases} F(x)={1−e−λx,x≥00,x<0F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, x \ge 0 \\ 0, x<0 \end{cases}

正态分布

N(μ,σ)N(\mu,\sigma) f(x)=12πσe−12(x−μσ)2(−∞<x<+∞)f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}(-\infty<x<+\infty) N(0,1)N(0,1) ϕ(x)=12πe−12x2\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dt\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^x_{-\infty}e^{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(0)=0.5\Phi(0) = 0.5 Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)