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相互独立的随机变量分布及卷积公式
J.Gong
2021-09-08
0.42min
相互独立的随机变量分布及卷积公式
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
+
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
f
Y
(
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
−
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
(X,Y) \sim f(x,y), Z=X+Y, f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
+
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
f
Y
(
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
−
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
−
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
x
−
z
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
+
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
(X,Y) \sim f(x,y), Z=X-Y, f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,x-z)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z+y)f_Y(y)dy
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
−
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
x
−
z
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
+
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
1
∣
x
∣
f
(
x
,
z
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
1
∣
y
∣
f
(
z
y
,
y
)
d
y
(X,Y) \sim f(x,y), Z=XY, f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f(x, \frac{z}{x}) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|y|} f(\frac{z}{y}, y) dy
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
x
∣
1
f
(
x
,
x
z
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
∣
y
∣
1
f
(
y
z
,
y
)
d
y
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
X
Y
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
y
∣
f
(
y
z
,
y
)
d
y
(X,Y) \sim f(x,y), Z=\frac{X}{Y}, f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} |y| f(yz, y) dy
(
X
,
Y
)
∼
f
(
x
,
y
)
,
Z
=
Y
X
,
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
∣
y
∣
f
(
yz
,
y
)
d
y
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