矩阵典型例题

(13201−1−245)(2−13)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 4 & 5 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \\ \end{pmatrix}

A:

(5−47)\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}

Q:

(2132)(1−101)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

A:

(2−13−1)\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \\ \end{pmatrix}

Q:

(1224)(2−4−12)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}

A:

(0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

(13−2)(213)\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}

A:

(213639−4−2−6)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 3 & 9 \\ -4 & -2 & -6 \\ \end{pmatrix}

Q:

(213)(13−2)\begin{pmatrix} 2 & 1 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}

A: -1

Q:

(1−1343215−2)(x1x2x3)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}

A:

(x1−x2+3x34x1+3x2+2x3x1+5x2−2x3)\begin{pmatrix} x_1-x_2+3x_3 \\ 4x_1+3x_2+2x_3 \\ x_1 + 5x_2 - 2x_3 \\ \end{pmatrix}

Q:

α=(1,2,3)\alpha=(1, 2, 3), β=(1,−1,2)\beta=(1,-1,2), A=αTβA = \alpha^T\beta, B=βαTB = \beta\alpha^T 求A,B,A4A, B,A^4

A:

A=(1−122−243−36);B=5;A4=53AA = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 3 & -3 & 6 \\ \end{pmatrix}; B = 5; A^4=5^3A

Q:

A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33),X=(12012),Y=(120−12),A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix},

求XTAX+XTAY−YTAX−YTAYX^TAX+X^TAY-Y^TAX-Y^TAY

A:

a31a_{31}

Q:A 是 n 阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)

A:正确

Q: A、B 是 n*1 矩阵，则ATB=BTAA^TB=B^TA

A: 正确

Q: A、B 为 n 阶矩阵，AB=O 则(A+B)2=A2+B2(A+B)^2=A^2+B^2

A：错误

Q: A 是 n 阶矩阵，AmAk=AkAmA^mA^k=A^kA^m

A: 正确

Q：企业脱产培训，每年抽调 30%人，其中有 60%会结业回岗，假设现有 800 人，参与培训人员 200 人，两年后在岗和培训职工多少人(职工人数不变)。

A：在岗 668，培训 332

Q:

A=(242121363),An=?A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ \end{pmatrix}, A^n = ?

A:

7n−1A7^{n-1}A

Q:

A=(024003000),An=?A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, A^n = ?

A:

An={(024003000),if n=1,(006000000),if n=2,O,if n≥3,A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, if \ n=1, \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, if \ n=2, \\ O, if \ n \ge 3, \end{cases}

Q:

(111011001),An=?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, A^n = ?

A:

(1nn(n−1)201n001)\begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(λ100λ100λ),An=?A= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \\ \end{pmatrix}, A^n = ?

A:

(λnCn1λn−1Cn2λn−20λnCn1λn−100λn)\begin{pmatrix} \lambda^n & C^1_n\lambda^{n-1} & C^2_n\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & C^1_n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}

Q:

A=(1234),A∗=?A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}, A^*=?

A:

(4−2−31)\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(abcd),A∗=?A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}, A^*=?

A:

A=(d−b−cd)A= \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & d \\ \end{pmatrix}

Q: 2 阶矩阵求伴随矩阵

A: 主对角线对换，副对角线变号

Q:

A=(12−12420−13),A∗=?A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}, A^*=?

A:

A=(14−58−63−4−210)A= \begin{pmatrix} 14 & -5 & 8 \\ -6 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(13−12),A−1=?A= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}=?

A:

15(2−311)\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(212322123),A−1=?A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}=?

A:

15(21−2−7424−31)\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -7 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q: A∗=A^*=

A: ∣A∣A−1|A|A^{-1}

Q: AA∗AA^*

A: ∣A∣E|A|E

Q:

A−1=(11112−1113),(A∗)−1=?A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}, (A^*)^{-1}=?

A:

(7−2−3−422−101)\begin{pmatrix} 7 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

(11112−1113),(A∗)−1=?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}, (A^*)^{-1} = ?

A:

12(11112−1113)\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}

Q:

A2−3A−10E=O,A−1=?, (A−4E)−1=?A^2-3A-10E=O, A^{-1}=?,\ (A-4E)^{-1}=?

A:

A−1=110(A−3E), (A−4E)−1=16(A+E)A^{-1} = \frac{1}{10}(A-3E), \ (A-4E)^{-1} = \frac{1}{6}(A+E)

Q:

Am=O,(E−A)−1=?A^m=O,(E-A)^{-1} = ?

A:

(E−A)−1=E+A+A2+⋯+Am−1(E-A)^{-1} = E+A + A^2 + \cdots + A^{m-1}

Q:

A=(111111111),则(E−A)−1=E−12A吗A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, 则 (E-A)^{-1} = E-\frac{1}{2}A吗

A:正确

Q: (A−1)−1(A^{-1})^{-1}

A: A

Q: (kA)∗(kA)^*

A: kn−1A∗k^{n-1}A^*

Q: (A+B)T(A+B)^T

A: AT+BTA^T + B^T

Q: (AB)T(AB)^T

A: BTATB^TA^T

Q: (AT)∗(A^T)^*

A: (A∗)T(A^*)^T

Q: (AB)−1(AB)^{-1}

A: B−1A−1B^{-1}A^{-1}

Q: (kA)−1(kA)^{-1}

A: 1kA−1\frac{1}{k}A^{-1}

Q:

AA−1=E,(A+B)2=E,(E+BA−1)−1=?AA^{-1} = E, (A+B)^2 = E, (E + BA^{-1})^{-1}=?

A:

A(A+B)A(A+B)

Q:

{x1+2x2+3x3=12x1+2x2+5x3=23x1+5x2+x3=3\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ 2x_1+ 2x_2 + 5x_3 = 2 \\ 3x_1+ 5x_2 + x_3 = 3 \\ \end{cases}

A:

{x1=1x2=0x3=0\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = 0 \\ x_3 = 0 \\ \end{cases}

Q: 矩阵可逆

A: 矩阵对应的行列式不为 0

Q:

(1325)X(10−11)=(3456)\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{pmatrix}

A:

(−2−232)\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{pmatrix}

Q: A−1=A^{-1}=

A: A∗∣A∣\frac{A^*}{|A|}

Q:

X(111011001)=(123456)X\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}

A:

(111411)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(323100−122),B=(5−10−12221−1),AX+2E=X+BA=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}, AX+2E=X+B

A:

X=(1−412−4−1−150)X = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & -4 & -1 \\ -1 & 5 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(00000−1000),B=(123456789),AB=A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}, AB=

A:

AB=(000−7−8−9000)AB=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -7 & -8 & -9 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(123456789),B=(000001010),AB=A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, AB=

A:

AB=(032065098)AB=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ 0 & 6 & 5 \\ 0 & 9 & 8 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(10000100−112023−13),B=(300012002−110−1301),AB=A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, AB=

A:

AB=(300012002020416−13)AB=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 16 & -1 & 3 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(31000300003−100−93),AnA=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -9 & 3 \\ \end{pmatrix}, A^n

A:

An=(3nCn1⋅3n−10003n00003⋅6n−1−6n−100−9⋅6n−13⋅6n−1)A^n = \begin{pmatrix} 3^n & C^1_n·3^{n-1} & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3·6^{n-1} & -6^{n-1} \\ 0 & 0 & -9·6^{n-1} & 3·6^{n-1} \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(1100012000001230001200001),A−1A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}

A:

A=(2−1000−11000001−210001−200001)A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}