矩阵的初等变换

Q:

A=(010100120000)A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

是行最简形

A: 正确

Q:

A=(110101110000)A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

是行最简形

A:错

Q:

A=(1003010100−11)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}

是行最简形

A:错

Q:

A=(120000110000)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

是行最简形

A: 正确

Q: 行阶梯矩阵

A: 如果矩阵中有零行，则零行都在底部；每个非零行主元下面元素都是 0

Q: 行最简矩阵

A: 非零行主元都是 1 且主元所在列其他元素都是 0

Q:

A=(2−4533−6424−81711)A=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3\\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \\ \end{pmatrix}

求 A 的行最简形以及标准形

A:

(1−20−27001570000);(E2OOO)\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -\frac{2}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} E_2 & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(2231−10−121),A−1A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}

A:

A−1=(1−4−31−5−3−164)A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(12221−22−21),A−1A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}

A:

A−1=19(12221−22−21)A^{-1}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(2100320011432−132),A−1A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix}, A^{-1}

A:

A−1=(2−100−3200−2314−2331−193−4)A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 0 & 0 \\ -23 & 14 & -2 & 3 \\ 31 & -19 & 3 & -4 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(AOCB);A−1A=\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}; A^{-1}

A:

(A−1O−B−1CA−1B−1)\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \\ \end{pmatrix}

Q: 单位阵第二行或第二列乘 k 的初等矩阵

A:

E(2(k))=(1000k0001)E(2(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q: 表示单位阵 1、2 行互换的初等矩阵

A:

E(1,2)=(010100001)E(1,2)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:表示单位阵第一行的 k 倍加到第三行的矩阵

A:

E(13(k))=(100010k01)E(13(k)) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:A 是三阶方阵，A 的第一列和第二列互换，之后再把第 2 列加到第三列得 C，满足 AQ=C，则可逆矩阵 Q 为。

Q=(011100001)Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行，之后再把第一列的-1 倍加到第二列得 C，已知 P=(110010001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}，则

(A)C=P−1AP;(B)C=PAP−1;(C)C=PTAP;(D)C=PAPT;(A) C=P^{-1}AP; (B) C=PAP^{-1}; (C) C=P^TAP; (D) C=PAP^T;

A:B

Q:

A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33),B=(a21a22a23a11a12a13a31+a11a32+a12a33+a13),P1=(010100001),P2=(100010101)A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} + a_{11} & a_{32} + a_{12} & a_{33} + a_{13} \\ \end{pmatrix}, P_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, P_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

则必有:

(A) AP1P2=B; (B) AP2P1=B; (C) P1P2A=B; (D) P2P1A=B;(A)\ AP_1P_2 = B; \ (B)\ AP_2P_1 = B; \ (C)\ P_1P_2A = B; \ (D)\ P_2P_1A = B;

A: C

Q: 左乘初等矩阵为什么变换

A: 行变换

Q: 右乘初等矩阵为什么变换

A: 列变换

Q:

A=(123423455432)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix}

求可逆矩阵 P，使 PA 为最简行矩阵。

A:

P=(−3202−107−61),PA=(10−1−201230000)P=\begin{pmatrix} -3 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 7 & -6 & 1 \\ \end{pmatrix}, PA=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q: 已知 A 是 n 阶非零矩阵，A*是 A 的伴随矩阵，证明∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}

Q: 已知 AB 均为 3 阶可逆矩阵，|A|=a, |B|=b 求∣2ABT∣|2AB^T|

A: 8ab

Q: 已知 AB 均为 3 阶可逆矩阵，|A|=a, |B|=b 求∣A−1B∗∣|A^{-1}B^*|

A: b2a\frac{b^2}{a}

Q: 已知 AB 均为 3 阶可逆矩阵，|A|=a, |B|=b 求∣∣A∗∣B∣||A^*|B|

A: a6ba^6b

Q: |A*|

A: ∣A∣n−1|A|^{n-1}

Q: ∣A−1∣|A^{-1}|

A: ∣A∣−1|A|^{-1}

Q: 已知 A 是三阶矩阵，|A|=2 求∣(12A)−1−3A∗∣|(\frac{1}{2}A)^{-1}-3A^*|

A: -32