矩阵考研例题

Q:

α=(12,0,⋯ ,0,12)1xn,A=E−αTα,B=E+2αTα,AB=\alpha=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2} \end{pmatrix}_{1xn}, A=E-\alpha^T\alpha, B=E+2\alpha^T\alpha,AB=

A: E

Q:

A、B 是 n 阶矩阵,求 C 的伴随矩阵

C=(AOOB)C=\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}

A:

C∗=(∣B∣A∗OO∣A∣B∗)C^*=\begin{pmatrix} |B|A^* & O \\ O & |A|B^* \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(1−123),B=A2−3A+2E,B−1A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}, B=A^2-3A+2E, B^{-1}

A:

B−1=(012−1−1)B^{-1} =\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}

Q: 一元二次方程的十字相乘法

A: x2+(a+b)x+abx^2+(a+b)x+ab

Q: A、B 为三阶方阵

A−1B=6E+B,A=(130001400017),BA^{-1}B=6E+B,A=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{7} \\ \end{pmatrix}, B

A:

B=(300020001)B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A,B,A+B,A−1+B−1A,B,A+B,A^{-1}+B^{-1}均为 n 阶可逆矩阵，则(A−1+B−1)−1(A^{-1}+B^{-1})^{-1}

A: C

Q:

(BOOC)n\begin{pmatrix} B & O \\ O & C \\ \end{pmatrix}^n

A:

(BnOOCn)\begin{pmatrix} B^n & O \\ O & C^n \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(100110111),B=(011101110),AXA+BXB=AXB+BXA+E,A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, AXA+BXB=AXB+BXA+E,

A:

X=(125012001)X=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(k1111k1111k1111k),r(A)=3,kA=\begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k \\ \end{pmatrix}, r(A)=3, k

A:

k=−3k=-3