齐次线性方程组

Q:

{6x1+2x2−2x3+x4=0x1−x3+x4=02x1+x2+3x4=0\begin{cases} 6x_1+2x_2-2x_3+x_4=0 \\ x_1-x_3+x_4 = 0 \\ 2x_1+x_2+3x_4 = 0 \\ \end{cases}

求基础解系

A:

μ=(1,−2,1,0)T\mu=(1,-2,1,0)^T

Q:

{x1+2x2+x3−x4=03x1+6x2−x3−3x4=05x1+10x2+x3−5x4=0\begin{cases} x_1+2x_2+x_3-x_4 = 0 \\ 3x_1+6x_2-x_3-3x_4 = 0 \\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4 = 0 \\ \end{cases}

求基础解系

A:

μ1=(−2,1,0,0)T,μ2=(1,0,0,1)T\mu_1=(-2,1,0,0)^T, \mu_2=(1,0,0,1)^T

Q:

{2x1−x2+3x3+2x4=03x1+2x2+5x3−4x4=04x1+5x2+7x3−10x4=0\begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3+2x_4 = 0\\ 3x_1+2x_2+5x_3-4x_4 = 0 \\ 4x_1+5x_2+7x_3-10x_4 = 0 \\ \end{cases}

求基础解系

A:

μ1=(−117,−17,1,0)T,μ2=(0,2,0,1)T\mu_1=(-\frac{11}{7}, -\frac{1}{7}, 1, 0)^T, \mu_2=(0,2,0,1)^T

Q:

{x1+x2+2x3+3x4=03x1+3x2+6x3+12x4+x5=04x1+4x2+8x3+15x4+x5=0\begin{cases} x_1+x_2+2x_3+3x_4=0 \\ 3x_1+3x_2+6x_3+12x_4+x_5 = 0 \\ 4x_1+4x_2+8x_3+15x_4+x_5 = 0 \\ \end{cases}

求基础解系

A:

μ1=(−1,1,0,0,0)T,μ2=(−2,0,1,0,0)T,μ3=(1,0,0,−13,1)T\mu_1=(-1,1,0,0,0)^T, \mu_2=(-2,0,1,0,0)^T, \mu_3=(1,0,0,-\frac{1}{3},1)^T

Q:

Ax=0 的基础解系是μ1,μ2,μ3\mu_1,\mu_2,\mu_3，则其基础解系还可能是

{A,μ1−μ2,μ2−μ3,μ3−μ1B,μ1+μ2,μ1+μ3C,μ1+2μ2,μ2+2μ3,μ3+2μ1D,μ1+2μ2,μ1−μ2+μ3,2μ1+μ2+μ3\begin{cases} A, \mu_1-\mu_2,\mu_2-\mu_3,\mu_3-\mu_1 \\ B,\mu_1+\mu_2,\mu_1+\mu_3 \\ C, \mu_1+2\mu_2,\mu_2+2\mu_3,\mu_3+2\mu_1 \\ D, \mu_1+2\mu_2, \mu_1-\mu_2+\mu_3,2\mu_1+\mu_2+\mu_3 \end{cases}

A: C

Q:

{x1+2x2+x3=02x1+3x2+ax3=0x1−x2−2x3=0\begin{cases} x_1+2x_2+x_3 = 0 \\ 2x_1+3x_2+ax_3 = 0 \\ x_1-x_2-2x_3 = 0 \\ \end{cases}

有非零解，求 a 的值并求其通解。

A:

a=1,k(1,−1,1)Ta=1,k(1,-1,1)^T

Q:

A=(121201t11t4−1)A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 4 & -1 \\ \end{pmatrix}

Ax=0 的基础解系由两个线性无关的解向量构成，求 t 并求 Ax=0 的通解。

A:

t=−1,k1(−3,1,1,0)T+k2(0,−1,0,1)Tt=-1,k_1(-3,1,1,0)^T+k_2(0,-1,0,1)^T

Q:

A=(2−2139−528)A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 & 3 \\ 9 & -5 & 2 & 8 \\ \end{pmatrix}

求 4*2 的矩阵 B，使得 AB=O，且 r(B)=2

A:

B=(1−15118008)B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 11 \\ 8 & 0 \\ 0 & 8 \\ \end{pmatrix}

Q:

求齐次方程组基础解系为

μ1=(0,1,2,3)T,μ2=(3,2,1,0)T\mu_1=(0,1,2,3)^T, \mu_2=(3,2,1,0)^T

A:

{x1−2x2+x3=02x1−3x2+x4=0\begin{cases} x_1-2x_2+x_3 = 0 \\ 2x_1-3x_2+x_4 = 0 \\ \end{cases}

Q:

A 是 3 阶非零矩阵 a1,a2,a3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 a1-a2,a1-a3 是 Ax=0 的基础解系。

A: 正确