内积施密特正交化

Q:

α=(1,0,−2)T,β=(−4,2,3)T,β=kα+γ\alpha=(1,0,-2)^T,\beta=(-4,2,3)^T, \beta=k\alpha+\gamma

alpha 和 gamma 正交，求 k 和 gamma

A:

k=−2,γ=(−2,2,−1)k=-2,\gamma=(-2,2,-1)

Q:

{α1=(1,1,−1,1)Tα2=(1,−1,−1,1)Tα3=(2,1,1,3)T\begin{cases} \alpha_1=(1, 1, -1, 1)^T \\ \alpha_2=(1, -1, -1, 1)^T \\ \alpha_3=(2, 1, 1, 3)^T \\ \end{cases}

求与他们都正交的单位向量

A:

±126(4,0,1,−3)\pm\frac{1}{\sqrt{26}}(4,0,1,-3)

Q:

{α1=(1,1,1)Tα2=(1,2,1)Tα3=(0,−1,1)T\begin{cases} \alpha_1=(1,1,1)^T \\ \alpha_2=(1,2,1)^T \\ \alpha_3=(0,-1,1)^T \\ \end{cases}

施密特正交化

A:

{γ1=13(1,1,1)Tγ2=16(1,−2,1)Tγ3=12(1,0,−1)T\begin{cases} \gamma_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T \\ \gamma_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^T \\ \gamma_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T \\ \end{cases}

Q:

{x1+x2−3x4−x5=0x1−x2+2x3−x4−x5=0x1+x3−2x4−x5=0\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_4 - x_5 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 - x_5 = 0 \\ x_1 + x_3 - 2x_4 - x_5 = 0 \\ \end{cases}

求解空间的一个规范正交基

A:

{γ1=13(−1,1,1,0,0)Tγ2=151(5,4,1,3,0)Tγ3=1340(3,−1,4,−5,17)T\begin{cases} \gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1,0,0)^T \\ \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{51}}(5,4,1,3,0)^T \\ \gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{340}}(3,-1,4,-5,17)^T \\ \end{cases}

Q: A 是正交矩阵则 A*也是正交矩阵

A: 正确

Q: A 是正交矩阵AATAA^T

A: E

Q: A 是正交矩阵∣A∣|A|

A: ±1\pm1