对角化

Q: A~B,则A2∼B2A^2\sim B^2

A: 正确

Q:

A1∼A2,B1∼B2→(A1OOB1)∼(A2OOB2)A_1 \sim A_2, B_1 \sim B_2 \rightarrow \begin{pmatrix} A_1 & O \\ O & B_1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} A_2 & O \\ O & B_2 \\ \end{pmatrix}

A: 正确

Q: A、B 是 n 阶可逆矩阵，若 A 可逆，则 AB 与 BA 有相同特征值

A: 正确

Q:

A∼Λ=(23),∣A+E∣A \sim \Lambda = \begin{pmatrix} 2 & \\ & 3 \\ \end{pmatrix}, |A+E|

A: 12

Q:

(11−11−2−1−313)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -3 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}

求可逆矩阵 P 与对角矩阵

A:

P=(7114−20−1711),Λ=(4−20)P=\begin{pmatrix} 7 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ -17 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, \Lambda=\begin{pmatrix} 4 & \\ & -2 \\ & & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

(11−110−1−313)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}

求可逆矩阵 P 与对角矩阵

A: 不能对角化

Q:

(11−111−1−3−33)\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & -3 & 3 \\ \end{pmatrix}

求可逆矩阵 P 与对角矩阵

A:

P=(−11−11−510901),Λ=(500)P=\begin{pmatrix} -11 & -1 & 1 \\ -5 & 1 & 0 \\ 9 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix} 5 \\ & 0 \\ & & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(20131x405)A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & x \\ 4 & 0 & 5 \\ \end{pmatrix}

可对角化，求 x

A: x=3

Q:

A=(1−1202−2−1−10),AnA=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix},A^n

A:

An=(3−2n3−2n+12n−2+2n−2+2n+1−2n−1−10)A^n=\begin{pmatrix} 3-2^n & 3-2^{n+1} & 2^n \\ -2+2^n & -2+2^{n+1} & -2^n \\ -1 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

A=(−211020−413),β=(223),A10βA=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix},\beta=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix}, A^{10}\beta

A:

A10β=(210+1211211+1)A^{10}\beta = \begin{pmatrix} 2^{10} + 1 \\ 2^{11} \\ 2^{11} + 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

{λ1=1,α1=(1,1,0)Tλ2=2,α2=(−1,0,1)Tλ3=−1,α3=(1,1,2)T,A\begin{cases} \lambda_1 = 1, \alpha_1 = (1,1,0)^T \\ \lambda_2 = 2, \alpha_2 = (-1,0,1)^T \\ \lambda_3 = -1, \alpha_3 = (1,1,2)^T \\ \end{cases}, A

A:

A=(10−1−12−1−33−1)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -3 & 3 & -1 \\ \end{pmatrix}

Q:

{λ1=1,α1=(1,1,0)Tλ2=2,α2=(−1,0,1)Tλ3=−1,α3=(1,1,2)T,A100\begin{cases} \lambda_1 = 1, \alpha_1 = (1,1,0)^T \\ \lambda_2 = 2, \alpha_2 = (-1,0,1)^T \\ \lambda_3 = -1, \alpha_3 = (1,1,2)^T \\ \end{cases}, A^{100}

A:

A100=(21001−210000101−21002100−11)A^{100} = \begin{pmatrix} 2^{100} & 1-2^{100} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1-2^{100} & 2^{100}-1 & 1 \\ \end{pmatrix}