二次型

Q:

f(x1,x2,x3)=x12+3x22−2x32+8x1x2−10x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2-2x_3^2+8x_1x_2-10x_2x_3

求二次型矩阵及其秩

A:

A=(14043−50−5−2),r(A)=3A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & -5 \\ 0 & -5 & -2 \\ \end{pmatrix},r(A) = 3

Q:

f(x1,x2,x3)=xT(102−2−320−80)xf(x_1, x_2, x_3)=\mathbf{x}^T\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \\ 0 & -8 & 0 \\ \end{pmatrix}\mathbf{x}

求二次型矩阵及其秩

A:

A=(1−11−1−3−31−30),r(A)=2A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & -3 \\ 1 & -3 & 0 \\ \end{pmatrix},r(A)=2

Q:

A=(013)A=\begin{pmatrix} 0 \\ & 1 \\ && 3 \\ \end{pmatrix}

求此二次型的表达式及其正负惯性指数

A:

f(x1,x2,x3)=x22+3x32,p=2,q=0f(x_1,x_2,x_3)=x_2^2+3x_3^2,p=2,q=0

Q:

f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+ax32−2x1x2−6x2x3+6x1x3f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+ax_3^2-2x_1x_2-6x_2x_3+6x_1x_3

秩为 2，求 a，求正惯性指数 p

A: a=3,p=2

Q: 将二次型转换为标准型，写出正交变换

f(x1,x2,x3)=4x22−3x32+4x1x2−4x1x3+8x2x3f(x_1,x_2,x_3)=4x_2^2-3x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3+8x_2x_3

A:

Q=(25130160530−16−1523026),(x1,x2,x3)T=Q(y1,y2,y3)T,f(x1,x2,x3)=y12+6y22−6y32Q=\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{30}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{5}{\sqrt{30}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{30}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, (x_1,x_2,x_3)^T=Q(y_1,y_2,y_3)^T, f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+6y_2^2-6y_3^2

Q: 将二次型转换为标准型，写出正交变换

f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3

A:

Q=(13121613−1216130−26),x=Qy,f(x1,x2,x3)=4y12+y22+y32Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix},x=Qy, f(x_1,x_2,x_3)=4y_1^2+y_2^2+y_3^2

Q:

f=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3,x=Qy,f=y22+2y32f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3+2x_1x_3, x=Qy, f=y_2^2+2y_3^2

求 a，b 以及 Q

A:

a=b=0,Q=(12012010−12012)a=b=0, Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix}

Q: 用配方法转化二次型为标准型，并写出坐标转换

f(x1,x2,x3)=x12+2x22−x32+4x1x2−4x1x3−4x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-4x_2x_3

A:

f(x1,x2,x3)=y12−2y22−3y32,{x1=y1−2y2x2=y2+y3x3=y3f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2-2y_2^2-3y_3^2, \begin{cases} x_1=y_1-2y_2 \\ x_2=y_2+y_3 \\ x_3=y_3 \\ \end{cases}

Q:

化二次型为规范型

f=x12+5x22−3x32f=x_1^2+5x_2^2-3x_3^2

A:

f=y12+y22−y32,{y1=x1y2=5x2y3=3x3f=y_1^2+y_2^2-y_3^2, \begin{cases} y_1= x_1 \\ y_2=\sqrt{5}x_2 \\ y_3=\sqrt{3}x_3 \\ \end{cases}

Q:

B=(100002020)B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

A 与 B 合同，求xTAxx^TAx的规范形

A: y12+y22−y32y_1^2+y_2^2-y_3^2

Q: 配方法公式

A: x2+ax+b=(x+12a)2−(12a)2+bx^2+ax+b=(x+\frac{1}{2}a)^2-(\frac{1}{2}a)^2+b

Q: f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3是正定的

A: 正确

Q: f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32+2tx1x2+10x1x3+6x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+2tx_1x_2+10x_1x_3+6x_2x_3正定，求 t

A: 对任何 t 值，二次型都不能正定

Q: A 是 n 阶正定矩阵，则A−1A^{-1}是正定矩阵

A: 正确

Q: A 是 m*n 矩阵,r(A)=n 则ATAA^TA为正定矩阵

A: 正确

Q: A 是 m*n 矩阵,r(A)=n 则AATAA^T为正定矩阵

A: 正确