线性空间与线性变换

Q: 若 V 是在数域 F 上的线性空间，则满足

A:

{α+β=β+α(α+β)+γ=α+(β+γ)α+0=αα+(−α)=01α=αk(lα)=(kl)αk(α+β)=kα+kβ(k+l)α=kα+lα\begin{cases} \alpha+\beta=\beta+\alpha \\ (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) \\ \alpha+0=\alpha \\ \alpha+(-\alpha) = 0 \\ 1\alpha=\alpha \\ k(l\alpha)=(kl)\alpha \\ k(\alpha+\beta) = k\alpha + k\beta \\ (k+l)\alpha = k\alpha + l\alpha \\ \end{cases}

Q: 二次多项式，对于多项式的加法和数乘，构成实数域上的线性空间

A: 错误

Q: 线性方程组的解的全体向量，对于向量的加法和乘法构成实数域上的线性空间

{x1+2x2−x3=1x2+x3=3\begin{cases} x_1+2x_2-x_3=1\\ x_2+x_3=3\\ \end{cases}

A: 错误

Q: 如下二阶矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域的线性空间

(abcd),a≥d\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix},a \ge d

A: 错误

Q: 主对角线上的元素之和为 0 的 2 阶矩阵集合 M 对于矩阵加法和数乘构成一个线性空间

A: 正确

Q: 下列变换构成 3 维向量空间上的线性变换

σ(xyz)=(x+y2zx)\sigma\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y \\ 2z \\ x \\ \end{pmatrix}

A: 正确

Q:

σ(α)=α0,α∈V\sigma(\alpha)=\alpha_0,\alpha \in V

α0\alpha_0是一个属于 V 的固定向量，变换是 V 上的线性变换

A: 错误

Q:

σ(A)=A∗,∀A∈M2(R)\sigma(A)=A^*,\forall A \in M_2(R)

构成线性变换

A: 正确

Q:

σ(xy)=(xyx−y)\sigma\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy \\ x-y \end{pmatrix}

构成线性变换

A: 错误

Q:

{σ(11)=(21)σ(−11)=(63){σ(10)σ(01)\begin{cases} \sigma\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \sigma\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix} \end{cases} \begin{cases} \sigma\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \sigma\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{cases}

求后面两个变换的值

A:

{σ(10)=(−2−1)σ(01)=(42)\begin{cases} \sigma\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \\ \sigma\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \end{cases}

Q:

{x1+x2−2x4=0x2+x3=0\begin{cases} x_1+x_2-2x_4=0 \\ x_2+x_3 = 0 \\ \end{cases}

求解向量构成的 S 空间的维数以及一组基

A: 2 维(1,−1,1,0)T,(2,0,0,1)T(1,-1,1,0)^T,(2,0,0,1)^T

Q: 求实数域上二阶对称矩阵所构成的线性空间的维度和一组基

A: 3 维

(1000),(0110),(0001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q: 求次数小于 3 的多项式构成的所构成的线性空间的维度以及基

A: 3 维1,x,x21,x,x^2

Q:

A=(01−100−220)A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

与 A 的行向量正交的向量集合 V 构成一个线性空间，求 V 的维数和基

A: 3 维

(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)

Q:

β1=α1+2α2+α3,β2=2α1+3α2+3α3,β3=3α1+7α2−α3\beta_1=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3, \beta_2=2\alpha_1+3\alpha_2+3\alpha_3, \beta_3=3\alpha_1+7\alpha_2-\alpha_3

alpha 和 beta 分别是 V 的两组基，求 alpha 到 beta 的过度向量

A:

C=(12323713−1)C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & -1 \\ \end{pmatrix}

Q:

f1=1+x+x2,f2=1+x+2x2,f3=1+2x+3x2f_1=1+x+x^2, f_2=1+x+2x^2, f_3=1+2x+3x^2

是次数小于 3 的多项式空间 P 的基

A: 正确

Q:

f1=1+x+x2,f2=1+x+2x2,f3=1+2x+3x2f_1=1+x+x^2, f_2=1+x+2x^2, f_3=1+2x+3x^2

是次数小于 3 的多项式空间 P 的基，求坐标

f=6+9x+14x2f=6+9x+14x^2

A: (1,2,3)T(1,2,3)^T

Q:

σ(xyz)=(x+yx−yz),α1=(100),α2=(110),α3=(111),\sigma\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \\ z \end{pmatrix}, \alpha_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},

求σ\sigma在α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3下对应的矩阵

A:

A=(02210−1001)A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Q:

σ(A)=A∗\sigma(A)=A^*

是 2 阶矩阵构成的线性空间的变换，求在以下基下对应的矩阵

E11=(1000),E12=(0100),E13=(0010),E14=(0001),E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, E_{12}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, E_{13}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, E_{14}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix},

A:

A=(00010−10000−101000)A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

α1=(−102),α2=(011),α3=(3−10),σ(α1)=(−503),σ(α2)=(0−16),σ(α3)=(−5−19),\alpha_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \alpha_3=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \sigma(\alpha_1) = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \sigma(\alpha_2) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}, \sigma(\alpha_3) = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 9 \end{pmatrix},

求线性变换在αi\alpha_i下的矩阵

A:

A=(235−10−1−110)A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Q:

σ(x1x2x3)=(x1+x2+x3−x1−2x3x2−x3)\sigma\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 \\ -x_1-2x_3 \\ x_2-x_3 \end{pmatrix}

求ImσIm\sigma和KerσKer\sigma

A:

象空间ImσIm\sigma是二维空间,它的基是

(1−10)(101)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

核空间KerσKer \sigma是一维空间，它的基是

(−211)\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}