矩阵

$$|kA| = k^n|A|$$ $$(kA)^T = kA^T$$ $$(A+B)^T = A^T + B^T$$ $$AA^*=A^*A$$ $$A^* = |A|A^{-1}$$ $$AA^*=|A|E$$ $$|A^*|=|A|^{n-1}$$ $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$ $$A=|A|(A^*)^{-1}$$ $$(kA)(kA)^*=|kA|E$$ $$A^T(A^T)^*=|A^T|E$$ $$A^{-1}(A^{-1})^* = |A^{-1}|E$$ $$A^*(A^*)^*=|A^*|E$$ $$(A^T)^*=(A^*)^T$$ $$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$$ $$(AB)^*=B^*A^*$$ $$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$$ $$||A||=|A|$$ $$(A^T)^T=A$$ $$(A^{-1})^{-1}=A$$ $$(A^*)^*=|A|^{n-2}A$$ $$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$$ $$(kA)^*=k^{n-1}A^*$$ $$|AB|=|A||B|$$ $$(AB)^T=B^TA^T$$ $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$ $$(AB)^*=B^*A^*$$ $$((A^{-1}))^T=(A^T)^{-1}$$ $$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$$ $$(A^*)^T=(A^T)^*$$ $$|A^T|=|A|$$ $$|A^{-1}|=|A|^{-1}$$ $$|A^*|=|A|^{n-1}$$ $$|A+B| \ne |A| + |B|$$ $$(A+B)^T=A^T+B^T$$ $$A=\begin{pmatrix} B & O \\ D & C \\ \end{pmatrix} , A^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1} & O \\ -CDB^{-1} & C^{-1} \\ \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} B & D \\ O & C \\ \end{pmatrix} , A^{-1}= \begin{pmatrix} B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1} \\ O & C^{-1} \\ \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} O & B \\ C & D \\ \end{pmatrix} , A^{-1}= \begin{pmatrix} -C^{-1}DB^{-1} & c^{-1} \\ B^{-1} & O \\ \end{pmatrix}$$ $$A=\begin{pmatrix} D & B \\ C & O \\ \end{pmatrix} , A^{-1}= \begin{pmatrix} O & c^{-1} \\ B^{-1} & -B^{-1}DC^{-1} \\ \end{pmatrix}$$ $$0 \le r(A) \le \mathrm{min}\{m,n\}$$ $$r(AB) = \mathrm{min} \{r(A),r(B)\}$$ $$r(A+B) \le r(A) + r(B)$$ $$r(A^*)=\begin{cases} n, r(A)=n \\ 1, r(A)=n-1 \\ 0, r(A) \lt n-1 \\ \end{cases}$$